Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge $\{a,b\}$ definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf $\{0,1\}$ definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ auf $\{a,b\}$ mit $a<b$ heißt zweipunktverteilt, wenn

$P(X=a)=1-p{\text{ und }}P(X=b)=p$ ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

$F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}$

Eigenschaften

Sei im Folgenden $q=1-p$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

$E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b$.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

$V(X)=E\left((X-E(X))^{2}\right)=p\cdot q\cdot (b-a)^{2}$.

Demnach ist die Standardabweichung

$\sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}$

und der Variationskoeffizient

$\operatorname {VarK} (X)={\frac {(b-a){\sqrt {pq}}}{qa+pb}}$.

Symmetrie

Ist $p={\tfrac {1}{2}}$, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

$\operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

$\gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}$

und damit ist die Wölbung

$\beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}$.

Höhere Momente

Die $k$-ten Momente ergeben sich als

$\operatorname {E} (X^{k})=qa^{k}+pb^{k}$.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

$x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}$

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

${\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind $a,b\in \mathbb {N} _{0}$, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

$m_{X}(t)=qt^{a}+pt^{b}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

$M_{X}(t)=qe^{at}+pe^{bt}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

$\varphi _{X}(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}$.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert $m$, Standardabweichung $s$ und Schiefe $t$ vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

$p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,$

$q=1-p,$

$a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},$

$b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.$

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für $p\in (0,1)$ nicht reproduktiv. Das heißt, wenn $X_{1},X_{2}$ zweipunktverteilt sind, dann ist $X_{1}+X_{2}$ nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit $p=1$ (bzw. $q=1$). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf $b$ (bzw. auf $a$), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf $\{0,1\}$ ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q={\frac {1}{2}}$.

Literatur

• Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zweipunktverteilung (two-point distribution), S. 526–527. 

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart