Satz von Kronecker (Körpertheorie)

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Der Satz von Kronecker (englisch Kronecker's theorem) der Körpertheorie ist einer der Lehrsätze des Mathematikers Leopold Kronecker, welche innerhalb der Algebra angesiedelt sind. Der Satz behandelt die Frage der Existenz von Nullstellen von Polynomen über kommutativen Körpern und ist als solcher grundlegend in der Theorie der Zerfällungskörper.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

(1) Zu einem beliebigen irreduziblen Polynom über einem kommutativen Körper lässt sich stets eine endliche Körpererweiterung finden, in der eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad mit dem Grad des Polynoms übereinstimmt;
also derart, dass stets die Gleichungen
(1a) für mindestens ein
(1b)
erfüllt sind.
(2) Zu jedem nichtkonstanten Polynom über einem kommutativen Körper gibt es stets eine endliche Körpererweiterung , in der eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung erfüllt.

Der kroneckersche Satz zieht das folgende Resultat nach sich:

Zu jedem kommutativen Körper und jedem Polynom existiert ein Zerfällungskörper , für dessen Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung besteht.[5][6]

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. Allenby: Rings, Fields and Groups. 1991, S. 140 ff
  2. Artin: Galoissche Theorie. 1968, S. 24 ff
  3. Cohn: Algebra vol. 2. 1989, S. 69 ff
  4. Meyberg: Algebra. Teil 2. 1975, S. 28 ff
  5. Das Ausrufezeichen steht für die Fakultätsfunktion.
  6. Wie sich zeigt, ist der Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.